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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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5. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:
d) ∫e5x1+e5xdx\int \frac{e^{5 x}}{\sqrt{1+e^{5 x}}} d x

Respuesta

En este caso, la integral que queremos resolver es: ∫e5x1+e5x dx\int \frac{e^{5x}}{\sqrt{1+e^{5x}}} \, dx Vamos a tomar la sustitución: u=1+e5xu = 1 + e^{5x} du=5e5x dx⇒e5x dx=du5du = 5 e^{5x} \, dx \Rightarrow e^{5x} \, dx = \frac{du}{5} Reescribimos nuestra integral en términos de uu: ∫e5x1+e5x dx=∫1u⋅du5=15∫u−1/2 du\int \frac{e^{5x}}{\sqrt{1+e^{5x}}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int u^{-1/2} \, du Y ahora integramos ;) 15∫u−1/2 du=15⋅2u1/2+C=25u1/2+C\frac{1}{5} \int u^{-1/2} \, du = \frac{1}{5} \cdot 2u^{1/2} + C = \frac{2}{5} u^{1/2} + C No te olvides que tenemos que volver a la variable original xx: 25u1/2+C=251+e5x+C\frac{2}{5} u^{1/2} + C = \frac{2}{5} \sqrt{1 + e^{5x}} + C Por lo tanto, el resultado de la integral es: ∫e5x1+e5x dx=251+e5x+C\int \frac{e^{5x}}{\sqrt{1+e^{5x}}} \, dx = \frac{2}{5} \sqrt{1 + e^{5x}} + C
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