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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
5.
Calcular las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:
d) $\int \frac{e^{5 x}}{\sqrt{1+e^{5 x}}} d x$
d) $\int \frac{e^{5 x}}{\sqrt{1+e^{5 x}}} d x$
Respuesta
En este caso, la integral que queremos resolver es:
$\int \frac{e^{5x}}{\sqrt{1+e^{5x}}} \, dx$
Vamos a tomar la sustitución:
$u = 1 + e^{5x}$
$du = 5 e^{5x} \, dx \Rightarrow e^{5x} \, dx = \frac{du}{5}$
Reescribimos nuestra integral en términos de $u$:
$\int \frac{e^{5x}}{\sqrt{1+e^{5x}}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int u^{-1/2} \, du$
Y ahora integramos ;)
$\frac{1}{5} \int u^{-1/2} \, du = \frac{1}{5} \cdot 2u^{1/2} + C = \frac{2}{5} u^{1/2} + C$
No te olvides que tenemos que volver a la variable original $x$:
$\frac{2}{5} u^{1/2} + C = \frac{2}{5} \sqrt{1 + e^{5x}} + C$
Por lo tanto, el resultado de la integral es:
$\int \frac{e^{5x}}{\sqrt{1+e^{5x}}} \, dx = \frac{2}{5} \sqrt{1 + e^{5x}} + C$
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